Relations fondamentales dans un triangle

Triangle quelconque

Equations aux sinus

Considérons le triangle quelconque ABC.  Baissons la hauteur AH sur le côté BC.  Nous pouvons alors écrire que :

AH=AB.sinB=AC.sinC

D’où nous tirons :

sinB/AC=sinC/AB (1)

De même, en baissant la hauteur BI sur le côté AC, nous pouvons écrire :

BI=AB.sinA=BC.sinC

D’où nous tirons :

sinA/BC=sinC/AB (2)

Finalement, de (1) et (2), nous tirons les relations (équations) aux sinus.

sinA/BC=sinB/AC=sinC/AB

Equations aux cosinus

Apliquons Pythagore aux triangles ABH et ACH :

AB²=BH²+AH²

AC²=AH²+CH²

Eliminons la hauteur AH des deux égalités pour obtenir :

AC²=AB²-BH²+CH² (3)

Eliminons CH=BC-BH de cette dernière relation :

AC²=AB²-BH²+(BC-BH)²=AB²+BC²-2.BC.BH

Faisons apparaître le cosinus de B en éliminant BH=AB.cosB dans cette dernière relation :

AC²=AB²+BC²-2.BC.AB.cosB

d’où nous tirons le cosinus de B :

cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2.AB.BC)

En éliminant BH=BC-CH de la relation (3), nous obtenons :

AC²=AB²-(BC-CH)²+CH²=AB²-BC²+2.BC.CH

Faisons apparaître le cosinus de C en éliminant CH=AC.cosC :

AC²=AB²-BC²+2.BC.AC.cosC

d’où nous tirons le cosinus de C :

cosC=(AC²+BC²-AB²)/(2.AC.BC)

En reprenant le même raisonnement avec la hauteur BI baissée de B sur le côté AC, nous obtenons, successivement :

Apliquons Pythagore aux triangles BCI et ABI :

AB²=BI²+AI²

BC²=BI²+CI²

Eliminons la hauteur BI des deux égalités pour obtenir :

BC²=AB²-AI²+CI² (4)

Eliminons CI=AC-AI de cette dernière relation :

BC²=AB²-AI²+(AC-AI)²=AB²+AC²-2.AC.AI

Faisons apparaître le cosinus de A en éliminant AI=AB.cosA dans cette dernière relation :

BC²=AB²+AC²-2.AC.AB.cosA

d’où nous tirons le cosinus de A :

cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2.AB.AC)

En éliminant AI=AC-CI de la relation (4), nous obtenons :

BC²=AB²-(AC-CI)²+CI²=AB²-AC²+2.AC.CI

Faisons apparaître le cosinus de C en éliminant CI=BC.cosC :

BC²=AB²-AC²+2.AC.BC.cosC

d’où nous tirons le cosinus de C :

cosC=(AC²+BC²-AB²)/(2.AC.BC)

Cette relation est identique à celle établie précédemment, en considérant la hauteur AH.

Les cosinus des angles A, B et C sont donc fournis par les relations aux cosinus :

cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2.AB.AC)

cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2.AB.BC)

cosC=(AC²+BC²-AB²)/(2.AC.BC)

 

Triangle rectangle en A

A=pi/2

Nous en tirons :

(1) les relations aux sinus :

sinA/BC=1/BC=sinB/AC=sinC/AB

D’où,

sinB=AC/BC et sinC=AB/BC

(2) les relations aux cosinus :

cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2.AB.AC)=0
implique que :

BC²=AB²+AC²

C’est la formule de Pythagore, propre aux triangles rectangles.

cosB=(BC²+AB²-AC²)/(2.AB.BC)=(AB²+AC²+AB²-AC²)/(2.AB.BC)=AB/BC

De même,

cosC=(AC²+BC²-AB²)/(2.AC.BC)=(AC²+AC²+AB²-AB²)/(2.AC.BC)=AC/BC

En résumé, dans une triangle rectangle en A, nous avons :

cosA=0

BC²=AC²+AB²

cosB=AB/BC

cosC=AC/BC

Triangle isocèle de sommet A ou de base BC

Les relations aux sinus deviennent, si l’on tien compte de ce que B=C :

sinA/BC=sinB/AC=sinC/AB=sinB/AB

d’où nous tirons :

AB=AC.

Les relations aux cosinus quant à elles deviennent :

cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2.AB.AC)=(AB²+AB²-BC²)/(2.AB.AB)=1-BC²/(2.AB²)=
1-BC²/(2.AC²)

cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2.AB.BC)=(AB²+BC²-AB²)/(2.AB.BC)=(BC/2)/AB

cosC=(AC²+BC²-AB²)/(2.AC.BC)=(AB²+BC²-AB²)/(2.AB.BC)=(BC/2)/AB=(BC/2)/AC

Triangle équilatéral

Les trois côtés sont égaux :

AB=BC=AC

et les trois angles aussi le sont :

A=B=C.

La loi des sinus s’écrit :

sinA/BC=sinB/AC=sinC/AB=sinA/BC=sinB/BC=sinC/BC

d’où nous tirons que :

A=B=C

La loi des cosinus s’écrit :

cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2.AB.AC)=AB²/2AB²=1/2
A=pi/3

cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2.AB.BC)=AB²/(2AB²)=1/2

cosC=(AC²+BC²-AC²)/(2.AC.BC)=1/2

Nous en concluons que :

A=B=C=pi/3.

Cercle trigonométrique

Sinus et cosinus

Tangente et sécante

Cotagente et cosécante

Somme de deux angles